我们都学习过导数，对于普通数学爱好者而言，可以说导数就是区分初等数学和高等数学的分界岭。今天我们就来聊聊到底什么是导数，基本初等函数都是如何求导的？
函数y=f(x)在点x=x0的导数就是指函数图像在点x0处的切线的斜率k，记作k=y′(x0)=f′(x0)。
那我们怎么来求出这个切线的斜率呢？我们首先在函数图像上取两点。
P0(x0，y0)和P(x0+△x，y0+△y)。
这里y0=f(x0)，y0+△y=f(x0+△x)。
△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)。
连接直线P0P，这里P0P就是函数图像的一条割线。当△x→0的时，x0+△x→x0，点P也就逐渐趋近于点P0，割线P0P趋近于过点P0的切线，割线P0P的斜率也就趋近于这条切线的斜率。这个过程的极限值就是函数在点x0的导数。
割线P0P的斜率等于。
/。
=△y/△x。
过点P0的切线的斜率。
k=y′(x0)=f′(x0)。
=lim(△y/△x)，△x→0。
=lim{/△x}。
函数y=f(x)在定义域内每一个点的导数所构成的函数称为函数的导函数，记为y′=f′(x)。
y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)。
=lim{/△x}，△x→0。
我们把自变量x的增量△x用dx表示，称为自变量的微分。把因变量y的增量△y用dy表示，称为因变量的微分。那么导函数又可以表示为：。
y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx，dy=f′(x)dx。
我们首先来求幂函数的导数。
对于n∈N，△x→0。
(xn)′=lim{/△x}。
根据二项式定理：。
(a+b)n=Σ。
r=0，1，2，…，n。
(x+△x)n-xn。
=-xn。
=nx(n-1)△x+C(n，2)x(n-2)(△x)2+…+(△x)n。
(xn)′=lim{/△x}。
=lim{/△x}。
=lim，△x→0。
=nx(n-1)+0+…+0=nx(n-1)。
(xn)′=nx(n-1)，n∈N。
也可以写成：y=xn。
y′=dy/dx=d(xn)/dx=nx(n-1)。
dy=d(xn)=dx。
利用后面将要证明的。
(ex)′=ex，′=1/x。
我们还可以将以上结论中的正整数n拓展到任意实数α。
根据对数恒等式。
x=e(lnx)。
xα=α=e(αlnx)。
(xα)′=′=e(αlnx)×(αlnx)′。
=xα×α×(lnx)′。
=αxα×(1/x)=αx(α-1)。
(xα)′=αx(α-1)，α∈R。
根据拓展到实数域的结论，我们可以很快得出几个常见导数。
(x)′=(x1)′=1×x(1-1)=x0=1。
(x2)′=2×x(2-1)=2×x1=2x。
(1/x)′=′=(-1)×x(-1-1)。
=-x(-2)=-1/(x2)。
(√x)′=′=(1/2)×x(1/2-1)。
=/2=1/(2√x)。
(C)′=(Cx0)′=C(x0)′。
=C=C×0=0。
C为任意常数。
(x)′=1，(x2)′=2x，(1/x)′=-1/(x2)。
(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0。
由于证明过程比较复杂，有兴趣的朋友可以前往我的主页翻看一下。
(ex)′=ex。
利用这个结论，我们就可以求出以e为底的自然对数函数y=lnx的导数。
y(x)=ln(x)，x=ey(x)。
利用复合函数求导法则。
(x)′=′=×y′(x)。
1=x×y′(x)。
y′(x)=′=1/x。
进一步对于任何底数a＞0且a≠1的指数函数y=ax求导。
y(x)=ax。
ln=ln(ax)=xlna。
{ln}′=(xlna)′。
×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna。
y′(x)=y(x)lna=(ax)lna。
(ax)′=(ax)lna。
同样对于一般对数函数求导。
y=log(a，x)，a＞0且a≠1。
根据换底公式。
′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna。
=(1/x)/lna=1/(xlna)。
′=1/(xlna)。
指对数函数的导数就讨论到这里，接下来我们来讨论三角函数的导数。
首先来求正弦函数y=sinx的导数。
根据两角和差公式。
(sinx)′，△x→0。
=lim/△x。
=lim/△x，△x→0。
=lim/△x。
=lim。
=cosxlim，△x→0。
根据重要极限。
lim(sinx/x)=1，x→0。
lim=1，△x→0。
(sinx)′=cosxlim。
=cosx×1=cosx，△x→0。
(sinx)′=cosx。
类似地，我们还可以求得。
(cosx)′=-sinx。
(tanx)′=(secx)2。
(cotx)′=-(cscx)2。
最后我们来对反三角函数求导，我们以反正弦函数为例：。
y=arcsinx，x=siny。
dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy。
注意到arcsinx∈？(-π/2，π/2)。
cosy=cos(arcsinx)＞0。
dx/dy=cosy=√(cosy)2。
=√=√(1-x2)。
y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)。
=1/√(1-x2)。
(arcsinx)′=1/√(1-x2)。
类似地，我们还可以求得。
(arccosx)′=-1/√(1-x2)。
(arctanx)′=1/(1+x2)。
(arccotx)′=-1/(1+x2)。
好了，关于基本初等函数的导数就介绍到这里。在整个推导过程中，运用到了多种不同的求导方法，值得大家认真体会。
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