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为什么叫导数(导数真的是初等数学跨不过的门槛?吐血之作!最全导数硬科普!)

时间:2024-02-18 10:12:35阅读:

为什么叫导数(导数真的是初等数学跨不过的门槛?吐血之作!最全导数硬科普!)

我们都学习过导数,对于普通数学爱好者而言,可以说导数就是区分初等数学和高等数学的分界岭。今天我们就来聊聊到底什么是导数,基本初等函数都是如何求导的?

函数y=f(x)在点x=x0的导数就是指函数图像在点x0处的切线的斜率k,记作k=y′(x0)=f′(x0)。

那我们怎么来求出这个切线的斜率呢?我们首先在函数图像上取两点。

P0(x0,y0)和P(x0+△x,y0+△y)。

这里y0=f(x0),y0+△y=f(x0+△x)。

△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)。

连接直线P0P,这里P0P就是函数图像的一条割线。当△x→0的时,x0+△x→x0,点P也就逐渐趋近于点P0,割线P0P趋近于过点P0的切线,割线P0P的斜率也就趋近于这条切线的斜率。这个过程的极限值就是函数在点x0的导数。

割线P0P的斜率等于。

/。

=△y/△x。

过点P0的切线的斜率。

k=y′(x0)=f′(x0)。

=lim(△y/△x),△x→0。

=lim{/△x}。

函数y=f(x)在定义域内每一个点的导数所构成的函数称为函数的导函数,记为y′=f′(x)。

y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)。

=lim{/△x},△x→0。

我们把自变量x的增量△x用dx表示,称为自变量的微分。把因变量y的增量△y用dy表示,称为因变量的微分。那么导函数又可以表示为:。

y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx,dy=f′(x)dx。

我们首先来求幂函数的导数。

对于n∈N,△x→0。

(xn)′=lim{/△x}。

根据二项式定理:。

(a+b)n=Σ。

r=0,1,2,…,n。

(x+△x)n-xn。

=-xn。

=nx(n-1)△x+C(n,2)x(n-2)(△x)2+…+(△x)n。

(xn)′=lim{/△x}。

=lim{/△x}。

=lim,△x→0。

=nx(n-1)+0+…+0=nx(n-1)。

(xn)′=nx(n-1),n∈N。

也可以写成:y=xn。

y′=dy/dx=d(xn)/dx=nx(n-1)。

dy=d(xn)=dx。

利用后面将要证明的。

(ex)′=ex,′=1/x。

我们还可以将以上结论中的正整数n拓展到任意实数α。

根据对数恒等式。

x=e(lnx)。

xα=α=e(αlnx)。

(xα)′=′=e(αlnx)×(αlnx)′。

=xα×α×(lnx)′。

=αxα×(1/x)=αx(α-1)。

(xα)′=αx(α-1),α∈R。

根据拓展到实数域的结论,我们可以很快得出几个常见导数。

(x)′=(x1)′=1×x(1-1)=x0=1。

(x2)′=2×x(2-1)=2×x1=2x。

(1/x)′=′=(-1)×x(-1-1)。

=-x(-2)=-1/(x2)。

(√x)′=′=(1/2)×x(1/2-1)。

=/2=1/(2√x)。

(C)′=(Cx0)′=C(x0)′。

=C=C×0=0。

C为任意常数。

(x)′=1,(x2)′=2x,(1/x)′=-1/(x2)。

(√x)′=1/(2√x),(C)′=0。

由于证明过程比较复杂,有兴趣的朋友可以前往我的主页翻看一下。

(ex)′=ex。

利用这个结论,我们就可以求出以e为底的自然对数函数y=lnx的导数。

y(x)=ln(x),x=ey(x)。

利用复合函数求导法则。

(x)′=′=×y′(x)。

1=x×y′(x)。

y′(x)=′=1/x。

进一步对于任何底数a>0且a≠1的指数函数y=ax求导。

y(x)=ax。

ln=ln(ax)=xlna。

{ln}′=(xlna)′。

×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna。

y′(x)=y(x)lna=(ax)lna。

(ax)′=(ax)lna。

同样对于一般对数函数求导。

y=log(a,x),a>0且a≠1。

根据换底公式。

′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna。

=(1/x)/lna=1/(xlna)。

′=1/(xlna)。

指对数函数的导数就讨论到这里,接下来我们来讨论三角函数的导数。

首先来求正弦函数y=sinx的导数。

根据两角和差公式。

(sinx)′,△x→0。

=lim/△x。

=lim/△x,△x→0。

=lim/△x。

=lim。

=cosxlim,△x→0。

根据重要极限。

lim(sinx/x)=1,x→0。

lim=1,△x→0。

(sinx)′=cosxlim。

=cosx×1=cosx,△x→0。

(sinx)′=cosx。

类似地,我们还可以求得。

(cosx)′=-sinx。

(tanx)′=(secx)2。

(cotx)′=-(cscx)2。

最后我们来对反三角函数求导,我们以反正弦函数为例:。

y=arcsinx,x=siny。

dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy。

注意到arcsinx∈?(-π/2,π/2)。

cosy=cos(arcsinx)>0。

dx/dy=cosy=√(cosy)2。

=√=√(1-x2)。

y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)。

=1/√(1-x2)。

(arcsinx)′=1/√(1-x2)。

类似地,我们还可以求得。

(arccosx)′=-1/√(1-x2)。

(arctanx)′=1/(1+x2)。

(arccotx)′=-1/(1+x2)。

好了,关于基本初等函数的导数就介绍到这里。在整个推导过程中,运用到了多种不同的求导方法,值得大家认真体会。

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